카오스 이론

카오스 이론은 알려 할수록 어렵군요.. 지금부터 아이하라 가즈유키씨가 지은 "쉽게 읽는 카오스"를 바탕으로 제가 이해한 바를 적습니다. 잘못 이해한 부분도 있을지 모르겠지만 어느 정도 도움이 되길 바라며 이 글을 씁니다.

뉴턴이 1687년에 출판한 자연과학의 수학적 원리라는 프린키피아의 발표로 지상 물체의 운동 법칙과 천체의 운동 법칙이 미분 방정식에 따라 나타난 운동 방정식이라는 수학의 언어로 표현 할 수 있게 되었습니다. 그리고 뉴턴 역학은 과학계에서 확고부동한 지위를 차지했죠. 후에는 천체의 위치와 궤도, 일식, 조석간만의 차이 등 여러가지 다양한 현상을 뉴턴 역학으로 설명할 수 있게 됩니다.

이처럼 뉴턴 역학이 거둔 완벽한 성공은 자연관과 세계관에 큰 영향을 미치고 지금의 자연과학에도 기본사상으로 정착되어 있습니다. 이렇게 뉴턴 역학적 세계관에 대해 설명하는 이유는 제가 알게된 카오스는 지금까지의 사고방식으로는 이해할 수 없는 이론이기 때문입니다. 뉴턴 역학은 그야말로 결정론에 입각해 있는 법칙이지만 카오스는 정확한 수학적 정의를 내릴 수 없다는게 사실이기 때문입니다.

지은이는 카오스를 큰 맥락에서 다음처럼 정의합니다.

카오스란 어떤 계가 확고한 규칙에 따라 변화하고 있음에도 불구하고,
매우 복잡하고 불규칙하면서 동시에 불안정한 행동을 보여서 먼 미래의 상태를 전혀 예측할 수없는 현상이다.

확고한 규칙에 따라 변화하는데 예측할 수 없는 결과가 나온다?

카오스가 발생하기 위한 하나의 중요한 요소는 비선형성입니다. 선형은 그래프가 직선인 항상 비례 관계를 나타내는 경우입니다. 이런 선형계는 합산의 원리가 성립하죠. 입력이 a일때 출력이 A, 입력이 b일때 출력이 B라면, 입력이 a+b일때 출력이 A+B가 되는것이 합산의 원리입니다. 비선형이란 선형이 아닌 모든 것을 말합니다. 출력이 입력에 비례하지 않는 경우이죠. 그리고 합산의 원리도 적용되지 않습니다. 현실에서 관찰할 수 있는 거의 모든 계가 비선형이라 할 수 있습니다. 용수철이 한 없이 늘어나지 않는 경우처럼.........

이런 비선형이 가져오는 복잡성을 예를 들어 보도록 하죠. 어떤 섬에서 쥐의 개체수가 2배가 된다고 해보면 매년 2배의 번식률로 제한없이 증가를 계속할 수 있습니다. 하지만 현실은 그렇지 않죠. 섬의 넓이나 먹이의 양이나....... 여러가지 제한에 의해 어느 한도를 가지게 됩니다. 따라서 섬에 최대한으로 살 수 있는 쥐의 개체수가 500마리라면? 처음 쥐의 개체수가 20마리일 경우 512마리가 되는 5년후에는 쥐의 개체수가 줄어들게 됩니다. 5년까지 늘어나더라도 선형적으로 증가하지 않고 시간이 갈수록 증가 그래프는 완만한 산을 이루게 되죠. 5년후 쥐의 개체수는 감소합니다. 그리고 다시 증가하게 되죠.

결정론적 법칙에 따르는 계이면서, 복잡하고 불규칙하며 불안정한 행동을 보이는 특징을 나타내는 원인이 이런 계의 상태변수의 변화법칙이 단순한 비례관계에서는 나타나지 않는 비선형성에 있기 때문입니다. 카오스에서는 이런 계의 불안정성이 만들어 내는 "초기값에 대한 민감한 의존성"을 원인으로 먼 미래의 상태를 예측할 수 없다고 하죠. 초기값에 대한 민감한 의존성이란 초기값의 작은 차이가 나중에 그 계의 상태에 큰 차이를 야기시킨다는 것입니다. 그리고 불안정성이 커질수록 이러한 성질도 강해지죠.

만약 섬에 쥐를 4마리 풀고 번식률이 해마다 2배일 경우 7년후에는 500마리를 넘어 감소하죠. 만약 번식률이 해마다 4배라면 4년째에는 1024마리... 500마리를 큰 폭으로 넘어서기 때문에 개체수는 큰폭으로 감소합니다. 따라서 번식률이 4배인 경우가 상태변화성이 더 강하고, 불안정성도 높아진다는 것이죠. 그리고 처음에 쥐가 4마리일 경우와 6마리일 경우, 5년이 지난후 각각 128마리와 192마리가 되어 처음의 2마리 차이가 나중에는 큰 차이를 가져오게 되는 것이죠.

그리고 초기값에 대한 민감한 의존성의 약간 극단적인 예를 들면 태양, 지구, 목성처럼 3개 이상의 천체의 움직임을 계산하는 경우 하나의 천체에 있어서 작은 돌 하나의 무게차이가 결과에 영향을 미칩니다. 그리고 태양계 천체의 움직임의 경우 그 계산이 너무 복잡해(사실 풀수 없다고 하더군요..) 태양계 질량의 대부분을 차지하는 태양과 목성의 움직임만 가지고 계산을 한다는군요.

그리고 기후에 있어서도 카오스와 밀접한데 우리가 많이 알고 있는 "우리나라에서 한마리의 나비가 날개를 파닥거려 일으키는 미세한 바람이 수개월 후 미국 대륙을 휩쓰는 허리케인에 영향을 미칠지도 모른다"는 나비효과.. 카오스와 나비효과는 상당히 비슷해 보이지만 많은 차이가 있습니다. 카오스는 초기값에 대한 민감한 의존성과 함께 엘고드성에 기초해 (엘고드성:시간평균과 상태변수 공간에서의 평균은 동일하다) 충분히 긴 시간동안 여러차례 다시 가까워집니다.

위에서 예를 든 쥐의 개체수 변화의 경우 한계선을 넘은 쥐의 개체수는 줄지만 다시 개체수를 회복하고, 다시 한계선을 넘어 개체수가 줄고.... 지은이는 이런 의미에서 카오스를 "나비의 숲"이라고 할 수 있다는군요.

p.s. Chaos는 대개 cosmos의 반의어로 혼돈이나 무질서로 번역됩니다. 그런데 그 어원을 찾아보면 그리스신화나 구약성서 등에서 "우주의 질서가 탄생하기 이전의 무형의 공허" 라는 의미로 사용되었다는군요. 그리고 카오스학(Chaology)이라는 용어는 18~19세기 신학에서 "천지창조 이전에 존재하던 것" 을 연구하는 학문영역을 가리켰다고 합니다.